Emma et Arthur ont acheté 3003 dragées au chocolat et 3731 dragées aux amandes. Pour répondre aux questions, il faut effectuer des divisions euclidiennes, puis utiliser les diviseurs communs des deux quantités.
Réparties de façon identique dans 20 corbeilles, les dragées laissent 14 dragées non utilisées. S’ils souhaitent ensuite constituer un maximum de petits ballotins identiques sans laisser de dragées, ils peuvent en faire 91, avec 33 dragées au chocolat et 41 dragées aux amandes dans chaque ballotin.
Répartition identique dans 20 corbeilles
Arthur propose de répartir les dragées de façon identique dans 20 corbeilles. Chaque corbeille doit avoir la même composition.
Il faut diviser séparément le nombre de dragées au chocolat et le nombre de dragées aux amandes par 20.
| Type de dragées | Nombre total | Division par 20 | Dragées par corbeille | Reste |
|---|---|---|---|---|
| Au chocolat | 3003 | 3003 = 20 × 150 + 3 | 150 | 3 |
| Aux amandes | 3731 | 3731 = 20 × 186 + 11 | 186 | 11 |
Chaque corbeille peut donc contenir 150 dragées au chocolat et 186 dragées aux amandes. Le nombre total de dragées non utilisées est 3 + 11 = 14.
Réponse : il reste 14 dragées non utilisées.
Constituer 90 ballotins identiques
Emma propose d’en faire 90. Cela convient-il ? Pour que la proposition convienne, il faut que 3003 et 3731 soient tous les deux divisibles par 90.
| Type de dragées | Division par 90 | Reste |
|---|---|---|
| Au chocolat | 3003 = 90 × 33 + 33 | 33 |
| Aux amandes | 3731 = 90 × 41 + 41 | 41 |
En faisant 90 ballotins, il serait possible de placer 33 dragées au chocolat et 41 dragées aux amandes dans chaque ballotin, mais il resterait 33 dragées au chocolat et 41 dragées aux amandes.
Le nombre total de dragées restantes serait donc 33 + 41 = 74.
Réponse : non, cela ne convient pas, car il resterait 74 dragées.
Faire un maximum de ballotins identiques sans reste
Pour ne laisser aucune dragée, le nombre de ballotins doit être un diviseur commun de 3003 et de 3731. Pour faire un maximum de ballotins, il faut rechercher le plus grand diviseur commun de ces deux nombres.
Recherche du plus grand diviseur commun
On peut utiliser l’algorithme d’Euclide :
| Étape | Division euclidienne |
|---|---|
| 1 | 3731 = 3003 × 1 + 728 |
| 2 | 3003 = 728 × 4 + 91 |
| 3 | 728 = 91 × 8 + 0 |
Le dernier reste non nul est 91. Ainsi, le plus grand diviseur commun de 3003 et de 3731 est 91.
PGCD(3003 ; 3731) = 91
Emma et Arthur pourront donc faire au maximum 91 ballotins identiques.
Composition de chaque ballotin
Il faut maintenant déterminer combien de dragées de chaque sorte seront placées dans un ballotin :
3003 ÷ 91 = 33, donc chaque ballotin contiendra 33 dragées au chocolat.
3731 ÷ 91 = 41, donc chaque ballotin contiendra 41 dragées aux amandes.
| Composition d’un ballotin | Calcul | Résultat |
|---|---|---|
| Dragées au chocolat | 3003 ÷ 91 | 33 |
| Dragées aux amandes | 3731 ÷ 91 | 41 |
La vérification montre que toutes les dragées sont utilisées :
91 × 33 = 3003 dragées au chocolat.
91 × 41 = 3731 dragées aux amandes.
Réponse : ils feront 91 ballotins, contenant chacun 33 dragées au chocolat et 41 dragées aux amandes.
