En mathématiques, un patron est la représentation plane des faces d’un solide obtenue en « dépliant » le solide. Inversement, quand on a le patron d’un solide, on peut reconstituer le solide par pliage.
Pour étudier une pièce montée, il faut donc identifier la forme de chaque gâteau, représenter ses faces à plat, respecter les longueurs indiquées et utiliser les formules adaptées, notamment celles du volume d’un pavé droit, d’un prisme droit ou d’un cylindre.
Qu’est-ce qu’un patron de solide ?
Le patron d’un polyèdre est la représentation plane de ses faces obtenue en « dépliant » le polyèdre. Inversement, quand on a un patron d’un polyèdre, on peut reconstituer le solide par pliage.
Le patron d’un polyèdre n’est en général pas unique. Ainsi, il y a 11 patrons différents de cube, représentés dans la figure suivante.
Un patron doit permettre de retrouver exactement le solide lorsque ses faces sont pliées. Les faces doivent donc être correctement reliées et leurs dimensions doivent être respectées.
Reconnaître les solides d’une pièce montée
Les pièces montées sont des gâteaux à étages souvent mangées lors des mariages. Dans les exercices de géométrie, les différents étages peuvent être modélisés par des solides de formes variées.
Un gâteau peut notamment être représenté par un pavé droit, un prisme droit ou un cylindre de révolution. Le patron dépend directement de la forme du solide.
Le pavé droit
Un pavé droit possède six faces rectangulaires. Lorsque sa base est un carré, ses faces latérales sont des rectangles et ses deux bases sont des carrés identiques.
Pour construire le patron d’un pavé droit, il faut représenter ses six faces en les reliant de manière à pouvoir reconstituer le solide par pliage.
Le prisme droit à base triangulaire
Le gâteau d’anniversaire est composé d’une mousse au chocolat en forme de prisme droit et d’une mousse au café en forme de cylindre de révolution.
Le prisme a une hauteur de 8 cm et sa base est un triangle équilatéral de 30cm de côté.
Le patron d’un prisme droit à base triangulaire est constitué de deux triangles équilatéraux identiques et de trois rectangles. Chaque rectangle correspond à une face latérale du prisme.
La hauteur des rectangles est égale à la hauteur du prisme, soit 8 cm. La longueur de chaque rectangle est égale à un côté du triangle équilatéral, soit 30 cm.
Le cylindre de révolution
Le cylindre a un hauteur de 8 cm et un diamètre de 16 cm.
Le patron d’un cylindre est constitué de deux disques identiques et d’un rectangle. Les deux disques représentent les bases du cylindre.
La hauteur du rectangle est égale à la hauteur du cylindre, soit 8 cm. La longueur du rectangle correspond au périmètre du cercle de base.
Le rayon du cylindre est égal à la moitié de son diamètre : 16 ÷ 2 = 8 cm.
Le périmètre du cercle de base est donné par la formule 2 × π × r. Avec un rayon de 8 cm, il vaut donc 2 × π × 8 = 16π cm.
Le rectangle du patron du cylindre mesure donc 16π cm de longueur et 8 cm de largeur.
Construire le patron d’une pièce montée
Pour construire un patron, on commence par identifier le solide représenté. On relève ensuite toutes les longueurs utiles : hauteur, côtés de la base, diamètre, rayon et périmètre des bases.
On dessine les faces en respectant les dimensions. Les faces latérales sont ensuite reliées aux bases, sans chevauchement, afin que le patron puisse être plié.
Dans une construction destinée à être découpée et assemblée, on peut ajouter des languettes de collage. Elles ne font pas partie des faces du solide, mais elles facilitent l’assemblage.
Exemple : maquette d’un podium
Le solide représenté ci-contre en perspective est la maquette d’un podium. Il a été taillé dans un pavé droit dont la base est un carré de côté 7,5 centimètres et la hauteur 6 centimètres ; chaque marche de l’escalier est carrée de côté 2,5 centimètres et sa hauteur est 1 centimètre.
Construire un patron en un seul morceau de cette maquette qui tienne sans débordement sur une feuille de format A4 et le coller par le fond sur cette feuille.
Cette construction demande de se repérer dans l’espace et de construire un patron d’un solide à partir d’une vue en perspective cavalière.
La difficulté consiste à représenter toutes les faces visibles et cachées du podium dans un seul patron, en conservant les longueurs et les contacts entre les faces.
Exercice : les pièces montées de Dominique et Camille
Pour le mariage de Dominique et Camille, le pâtissier propose deux pièces montées constituées de gâteaux de taille et de forme différentes.
Tous les gâteaux ont été confectionnés à partir de la recette ci-dessous, qui donne la quantité des ingrédients correspondant à 100 g de chocolat.
L’exercice permet de travailler la proportionnalité, les fractions, les longueurs et le calcul de volumes.
Question 1 : calculer un ratio
Le ratio demandé est le rapport entre la masse de beurre et la masse de chocolat.
Le ratio est : masse de beurremasse de chocolat=75100=34 Ratio=34.
Le résultat sous forme de fraction irréductible est donc :
3/4
Question 2 : calculer une quantité de farine
On peut dresser un tableau de proportionnalité :
| Masse de chocolat | Quantité de farine |
|---|---|
| 100 g | 30 g |
| 250 g | x |
x = 30×250100=75 g.
Donc il faut 75 g de farine pour 250 g de chocolat noir.
Question 3 : déterminer le côté du plus petit gâteau carré
Chaque étage perd 8 cm de longueur de côté, donc le côté du plus petit carré de la tour Carrée mesure :
24−8−8=8 cm.
Le côté du plus petit gâteau de la tour Carrée mesure donc 8 cm.
Question 4 : comparer les volumes
Pour comparer les deux tours, il faut calculer le volume de chaque étage, puis additionner les volumes des étages.
On rappelle que le volume V d’un cylindre de rayon r et de hauteur h est donné par la formule : V = π × r 2 × h.
Volume de la tour Carrée
La tour Carrée est composée de trois étages de forme cubique ou assimilée à des pavés droits. Attention : il ne faut pas oublier d’enlever 8 cm au diamètre ou au côté quand on passe d’un étage à l’autre.
Le volume de la tour Carrée est :
Vtour Carrée = V1er étage + V2e étage + V3e étage
Vtour Carrée = 24 × 24 × 8 + 16 × 16 × 8 + 8 × 8 × 8
Vtour Carrée = 4 608 + 2 048 + 512
Vtour Carrée=7 168 cm3.
Volume de la tour de Pise
La tour de Pise est composée de quatre étages cylindriques. Chaque étage a une hauteur de 6 cm et les rayons sont respectivement de 15 cm, 11 cm, 7 cm et 3 cm.
Le volume de la tour de Pise est :
Vtour de Pise = V1er étage + V2e étage + V3e étage + V4e étage
Vtour de Pise = π × 15²× 6 + π × 11² × 6 + π × 7² × 6 + π × 3² × 6
Vtour de Pise = 2 424π
Vtour de Pise≈7 615 cm3.
| Tour | Volume |
|---|---|
| Tour Carrée | 7 168 cm3 |
| Tour de Pise | 2 424π, soit environ 7 615 cm3 |
C'est donc la tour de Pise qui a le plus grand volume.
Ruban autour des gâteaux
Le pâtissier de finir sa décoration par un ruban autour des mousses. Quelle longueur de ruban doit-il prévoir, sachant qu'il a besoin d'1 cm supplémentaire pour coller aux extrémités.
Pour le prisme, le ruban doit suivre le périmètre de la base triangulaire. La base est un triangle équilatéral de 30cm de côté, donc son périmètre est 30 + 30 + 30 = 90 cm.
Il faut ajouter 1 cm supplémentaire pour le collage : la longueur nécessaire autour du prisme est donc 91 cm.
Pour le cylindre, le ruban doit suivre le périmètre du cercle de base. Le diamètre étant de 16 cm, ce périmètre est π × 16 = 16π cm.
En ajoutant 1 cm pour le collage, la longueur nécessaire autour du cylindre est 16π + 1 cm.
Il faut donc prévoir un ruban de 91 cm pour le prisme et un ruban de 16π + 1 cm pour le cylindre.
Construire un patron avec un logiciel de géométrie
Pour la construction de figures complexes possédant des angles droits, le repérage est une technique efficace qu'on pourra réinvestir.
Une construction mixte, mêlant « repérage » et « construction à l'aide des outils usuels » - perpendiculaires, cercles, angles - est également possible.
Dans un plan muni d’un repère orthogonal, on peut placer un point de coordonnées données. Cette méthode permet de positionner précisément les sommets d’un patron.
La construction d’un patron peut être réalisée avec un logiciel de géométrie comme Géogébra. Le logiciel permet de tracer des segments, des perpendiculaires, des cercles et des angles.
En supprimant la commande « angle de mesure donnée », on contraindra les élèves à calculer les coordonnées de tous les sommets des trapèzes et ainsi à réinvestir leurs connaissances en trigonométrie.
La commande « mesure d'un angle » permettra à chacun de contrôler sa construction en vérifiant la présence - ou non - des angles de 60°.
Exemple de construction d’une cheminée
Louise travaille dans une entreprise qui fabrique des maquettes en papier. Pour un projet de maison, on lui a demandé de concevoir un patron d'une cheminée.
Celui-ci devra être réalisé à l'aide d'un logiciel de géométrie pour permettre ensuite sa fabrication à grande échelle.
On pourra proposer ce problème à partir de la classe de 5e.
Dans un premier temps, un patron de la cheminée devra être réalisé en papier. On fixera quelques contraintes pour la cheminée : la face supérieure devra être carrée et parallèle au sol.
On pourra ensuite laisser les élèves choisir ses dimensions. On choisit ici de ne pas imposer les dimensions de la cheminée afin de laisser le problème le plus ouvert possible.
À charge pour les élèves de réaliser que la donnée de deux longueurs et d’un angle - qui sera à déterminer - est suffisante pour la construction des trapèzes rectangles.
On mettra à disposition des élèves la maquette de la maison afin qu'ils puissent prendre les mesures de longueurs et d'angles qu'ils jugent nécessaires.
Les élèves fabriquent leurs premiers patrons avec plus ou moins de succès. On laissera la maquette à disposition pour qu'ils puissent venir contrôler la qualité de leurs constructions.
Après les premiers échecs, on pourra effectuer un bilan intermédiaire qui permettra de mettre en commun les avancées de chacun.
On amènera alors les élèves à s’interroger sur la grandeur permettant d'obtenir une cheminée « droite ».
La réalisation d'un dessin à main levée leur permettra de mettre en évidence les angles mis en jeu et de les déterminer.
Les élèves fabriquent un nouveau patron et contrôlent leurs résultats.
On mettra en évidence l'angle de 60° commun à toutes les cheminées qui est la grandeur qui leur garantit d'être « bien droite ».
On fera le point sur les calculs trigonométriques qui ont permis de déterminer les coordonnées des sommets des trapèzes.
Cela pourra être l'occasion de repréciser les exigences attendues quant à leur présentation.
Construire le patron d'un pavé droit • cinquième transmath géométrie espace
Patrons de solides à imprimer
Les appliquettes ci-dessous permettent de créer des patrons de solides de dimensions choisies.
L'export du patron obtenu au format PNG permet d'obtenir une image dont les dimensions seront conservées lors de l'insertion de l'image dans un document, Word par exemple, en faisant bien attention que la taille soit à 100%.
Attention : avant de réaliser l'export, il faut cliquer dans la fenêtre graphique qui contient le patron.
En effet, si vous avez manipulé les curseurs, c'est la fenêtre qui les contient qui est sélectionnée puis exportée. Un simple clic dans la bonne fenêtre suffit pour éviter cela.
Les patrons de solides peuvent être utilisés pour fabriquer des modèles de pièces montées, de podiums, de prismes et de cylindres. Ils permettent également de vérifier concrètement les dimensions calculées.
Vérifier un patron avant le pliage
Avant de découper un patron, il faut vérifier que toutes les faces sont présentes et que les dimensions correspondent au solide demandé.
- Les bases doivent avoir la forme et les dimensions prévues.
- Les faces latérales doivent avoir la bonne hauteur.
- Les côtés qui se rejoignent après pliage doivent avoir la même longueur.
- Les cercles du patron d’un cylindre doivent avoir le même rayon.
- La longueur du rectangle latéral d’un cylindre doit correspondre au périmètre du cercle.
- Les faces ne doivent pas se chevaucher lorsqu’on les déplie.
- Le patron doit tenir sur la feuille demandée, par exemple une feuille de format A4.
Un patron réussi permet de reconstituer le solide sans déformation et sans débordement. La précision du tracé est donc aussi importante que le calcul des longueurs.