L'intégration par parties (IPP) est la technique qui débloque toutes les intégrales d'un produit de deux fonctions. Polynôme × exponentielle, logarithme seul, exponentielle × cosinus : sans IPP, tu sèches.
La formule et sa signification
Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I, dont les dérivées u' et v' sont continues sur I. Alors pour tous a,b ∈ I : ∫_a^b u'(x) v(x) dx = [u(x) v(x)]_a^b − ∫_a^b u(x) v'(x) dx.
On lit cette formule comme un transfert de dérivation : à gauche, c'est u qui est dérivée ; à droite, c'est v. On a déplacé la dérivation d'un facteur à l'autre, et en compensation un terme de bord apparaît, le crochet [uv]_a^b = u(b)v(b) − u(a)v(a).
L'idée à retenir: l'IPP est utile seulement si l'intégrale de droite, ∫ u v', est plus simple que celle de départ. Si elle est aussi compliquée, ou pire, c'est que tu as inversé le choix de u' et v. Tu reviens en arrière, tu permutes, tu recommences.
Les versions équivalentes et le choix de u et v
Les deux versions de la formule (avec u' et v à gauche, ou avec u et v' à gauche) sont équivalentes : elles s'obtiennent l'une de l'autre en échangeant les rôles. Pas la peine de mémoriser les deux.
Le succès d'une IPP se joue à l'étape 1 : quelle fonction dérive-t-on, laquelle intègre-t-on ? Le principe-cœur tient en une ligne. Règle d'or: v est la fonction qui se simplifie en dérivant. u' est celle dont une primitive est immédiate. Si tu choisis l'inverse, l'intégrale de droite explose au lieu de simplifier.
Pour aller vite, le moyen mnémotechnique ALPES donne l'ordre de priorité pour v :
- Arctangente, arctan(x), arcsin(x), arccos(x)
- Logarithme, ln(x) et toutes ses variantes
- Polynôme, x^n, P(x)
- Exponentielle, e^x, a^x
- Sinus / cosinus, sin(x), cos(x)
La fonction qui apparaît en premier dans cette liste devient v. L'autre devient u'.
Cas concrets à connaître
Voici des configurations classiques, avec le résultat attendu après IPP.
- Polynôme × exponentielle (∫ x e^x dx): v = polynôme, u' = e^x. On obtient une primitive en x e^x − ∫ e^x dx, puis on calcule le terme de bord.
- Polynôme × trigonométrique (∫ x sin x dx): v = polynôme, u' = sin x. Déroulement similaire et résultat en termes de sin et cos.
- Logarithme × polynôme (∫ x ln x dx): v = ln x, u' = x, avec u = x^2/2. L'intégrale se réduit rapidement grâce à la dérivation de ln x qui donne 1/x.
- Logarithme seul (∫ ln x dx): v = ln x, u' = 1. Astuce: ln x = 1·ln x (produit déguisé) et on choisit u' = 1, v = ln x. Primitive: x ln x − x.
- Arctangente seule (∫ arctan x dx): v = arctan x, u' = 1. On obtient une primitive: (x arctan x − (1/2) ln(1+x^2) + C), mais l’essentiel est l’idée de garder arctan et e^x comme paires compatibles.
Astuce de professeur: ALPES n’est pas une loi mais une heuristique qui marche dans la plupart des cas. Si après IPP la nouvelle intégrale est plus moche que celle de départ, permute u' et v sans hésiter et recommence.
Exemples pivot et démonstration éclair
Exemple pivot: ∫ t e^t dt sur ℝ. On choisit v(t) = t et u'(t) = e^t. Après IPP: ∫ t e^t dt = t e^t − ∫ e^t dt = t e^t − e^t + C = (t − 1) e^t + C. Vérification: derivative de (t − 1) e^t est t e^t.
Cas concrets à maîtriser: 1) Logarithme seul; 2) IPP successives sur polynôme × exponentielle; 3) IPP circulaire avec cos et exp.
Cas 1 - Logarithme seul
La primitive de ln(x) n’est pas évidente au sens tableau simple. On écrit ln(x) = 1·ln(x) et on choisit u' = 1, v = ln(x). On obtient après IPP: ∫ ln(x) dx = x ln(x) − x + C. Cette technique s’applique aussi à arctan, arcsin, arccos grâce à des choix analogues.
Cas 2 - IPP successives sur polynôme × exponentielle
Si le polynôme est de degré ≥ 2, une seule IPP ne suffit pas: on répète. Par exemple, ∫ x^2 e^x dx donne, après deux IPP, une primitive en e^x (x^2 − 2x + 2) + C. On peut aussi employer la méthode tabulaire (DI table) en écrivant les dérivées de v et les primitives de u', en diagonales et en alternant les signes.
Cas 3 - IPP circulaire : ∫ e^x cos x dx
Cas piège: ni le polynôme ni la trigonométrique ne disparaissent en dérivant. Deux IPP successives ramènent à l’intégrale initiale et on obtient une équation I = … − I qu’on résout. On obtient I = e^x (cos x + sin x)/2 + C. Le choix cohérent de v entre les deux étapes est crucial pour éviter de retomber sur I sans progression.
Erreurs classiques à éviter
- Oublier le signe − devant la deuxième intégrale dans la version standard.
- Mal évaluer le crochet [uv]_a^b et oublier les bornes séparément.
- Inverser u' et v lorsque cela ne simplifie pas l’intégrale. Il faut pivoter selon ALPES.
- Oublier de mentionner les hypothèses (u, v dérivables et leurs dérivées continues) lors d’un exercice oral.
- Boucler une IPP circulaire avec un mauvais choix de v: il faut garder le même ordre (vv puis uv ou vice versa) pour éviter de revenir à l’étape I sans progression.
Exercices corrigés (résumé des résultats)
- I = ∫_0^1 x cos x dx = sin(1) + cos(1) − 1.
- J = ∫_1^e x ln x dx = (e^2 + 1)/4.
- K = ∫_0^π x^2 sin x dx = π^2 − 4.
- W_n = ∫_0^{π/2} sin^n x dx avec récurrence W_n = (n−1)/n · W_{n−2} pour n ≥ 2.
La déduction clé: la formule ∫_a^b u'(x) v(x) dx = [u(x) v(x)]_a^b − ∫_a^b u(x) v'(x) dx, sous hypothèses de dérivabilité et de continuité, est la base des intégrales par parties et ouvre la porte à des résultats comme les intégrales de Wallis et les calculs en prépa MPSI/PCSI.
