L’intégration par parties est une technique puissante du calcul intégral. Elle permet de transformer une intégrale compliquée en une intégrale plus simple en utilisant la dérivation d’un produit de fonctions. Cette méthode est au cœur du chapitre Primitives et Intégrales et elle est particulièrement utile pour des produits de fonctions dont l’une se simplifie en la dérivant.
Principe et formule
La formule d’intégration par parties (IPP) découle directement de la dérivation d’un produit. Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I, dont les dérivées sont continues. Le terme [u(x) v(x)]_a^b désigne u(b) v(b) - u(a) v(a). On obtient bien la formule d’intégration par parties. L’IPP est la dérivation d’un produit « lue à l’envers ». Ce dernier point est le critère décisif. L’IPP n’est pas toujours la bonne méthode.
Marche systématique et tableau
Voici la marche à suivre systématique pour réussir toute intégration par parties. Décompose l’intégrande en un produit de deux facteurs. Choisis quel facteur sera u (celui que tu vas dériver) et quel facteur sera v′ (celui que tu vas intégrer). La fonction la plus haute dans la liste ALPES est celle que tu poses comme u. Par exemple, si tu intègres x ln(x), le logarithme est au-dessus du polynôme : tu poses u = ln(x). Dérive u pour obtenir u′. Intègre v′ pour obtenir v (une seule primitive suffit, pas besoin de constante à cette étape). Ce tableau est ta feuille de route. En le posant clairement, tu évites les erreurs de signe et de calcul dans la suite. Remplace ensuite dans la formule ∫ u v′ = u v − ∫ u′ v en utilisant les quatre éléments du tableau. L’intégrale ∫ u′ v doit être plus simple que celle de départ. Signal d’alerte : si l’intégrale ∫ u′ v est plus compliquée que l’intégrale de départ, vous avez inversé u et v′.
Passage à la pratique : exemples classiques
Voici 5 exemples classiques, du plus accessible au plus exigeant. Étape introductive : l’intégrande est le produit x × e^x. D’après la règle ALPES, le polynôme x est au-dessus de l’exponentielle e^x, on pose u = x et v′ = e^x. L’intégrale restante ∫ e^x dx = e^x + C est immédiate. Réflexe : vérifier le résultat en dérivant la primitive obtenue. Cet exemple est un classique du programme de Terminale.
Astuce à retenir : chaque fois que tu vois une fonction « seule » dont tu ne connais pas la primitive directe - comme ln(x), arctan(x) ou arcsin(x) - essaie l’astuce « 1 × f(x) » avec une IPP. Un produit polynôme × logarithme est un grand classique de concours : l’intégrale ne se simplifie pas en une seule IPP et nécessite parfois deux IPP successives, puis la résolution d’une équation.
L’intégrale ∫ e^x cos(x) dx n’est pas plus simple ni plus compliquée : on est dans le cas d’une double IPP. On retrouve l’idée : faire toujours le même choix de rôle pour les deux itérations (ici, v′ = e^x à chaque fois). Quand le facteur polynomial est de degré 2 ou plus, une seule IPP ne suffit pas. Ce mécanisme s’étend : pour ∫ x^n e^x dx, on effectue n IPP successives, chacune diminuant le degré du polynôme d’un cran.
Erreurs fréquentes et corrections
Pour démontrer le souci récurrent : « Calculons ∫ x e^x dx ». On peut faire l’erreur en posant u = e^x et v′ = x, ce qui conduit à une intégrale plus complexe et une augmentation du degré du polynôme. Correction : poser u = x et v′ = e^x, car la formule est ∫ u v′ = u v − ∫ u′ v et non pas avec un signe +.
Autre exemple, ∫ e^x sin(x) dx : 1re IPP avec u = sin(x), v′ = e^x; 2e IPP avec u = e^x, v′ = cos(x). Diagnostic : inverser les rôles entre les deux IPP rend la seconde étape décevante. Correction : ∫ x e^x dx = (x − 1) e^x + C.
En DS ou en concours, une IPP bien rédigée prend environ 5 à 8 lignes. Si c’est plus court, il peut manquer une justification.
Applications et variantes
On cherche, par IPP, une relation de récurrence entre I_n et I_{n-1} (ou I_{n-2}). Exemple : pour n ∈ N, I_n = ∫_0^1 x^n e^x dx. Ce type de suite d’intégrales apparaît constamment en exercices de concours. Le réflexe concours est de penser immédiatement à l’IPP lorsque l’énoncé demande une relation de récurrence sur une suite d’intégrales.
L’IPP consiste à décomposer l’intégrande en un produit u × v′, puis à appliquer la formule ∫ u v′ = u v − ∫ u′ v. En pratique, vous choisissez u grâce à ALPES, calculez les 4 éléments du tableau, appliquez la formule, puis calculez l’intégrale restante. Si celle-ci est immédiate, vous concluez. Vous utilisez l’intégration par parties quand l’intégrande est un produit de deux fonctions dont l’une se simplifie en la dérivant. Les cas typiques : un polynôme multiplié par une exponentielle, un logarithme, ou une fonction trigonométrique. Si vous voyez ln(x), arctan(x) ou arcsin(x) seuls dans l’intégrale, l’IPP est presque toujours la bonne piste (via l’astuce 1 × f(x)). Les quatre grandes techniques de calcul de primitives restent : reconnaissance directe, IPP, changement de variable, décomposition en éléments simples pour les fractions rationnelles.
La règle mnémonique LIATE guide le choix du u dans la plupart des cas. On choisit généralement la fonction qui apparaît en premier dans cette liste. Pour ∫ x e^x dx, x est algébrique (A) et e^x est exponentielle (E), donc u = x. L’intégration par parties n’est pas systématiquement fournie dans les formulaires officiels des examens, mais elle est enseignée et utilisée couramment dans les supports et les cours.
Conclusion opérationnelle
En résumé, l’intégration par parties décompose l’intégrande en produit u × v′, applique la formule et transforme l’intégrale restée ∫ u′ v en une forme plus simple. Le choix de la décomposition est crucial et s’appuie sur ALPES et LIATE. Le cas typique est le produit polynôme × exponentielle, ou le logarithme combiné à un autre facteur. Si après deux IPP on retombe sur l’intégrale de départ, on obtient une équation en I et on peut la résoudre. L’IPP est une technique centrale en Terminale et en classes prépas, où elle apparaît dans des démonstrations et dans de nombreux problèmes de concours. Le format pratique et progressif - tableau, vérification par dérivation, et corrections des erreurs types - permet d’acquérir une maîtrise solide et fluide de cette méthode.
