Formes quadratiques : parcours, thèmes essentiels et organisation de l’ouvrage

« Invitation aux formes quadratiques » propose une étude vaste et structurée des formes quadratiques, depuis les fondements de l’algèbre linéaire jusqu’aux théories de Witt, de Pfister, des algèbres de Clifford et des groupes spinoriels.

L’ouvrage s’adresse au brillant taupin, à l’agrégatif tout comme au mathématicien confirmé, avec un niveau qui reste relativement élémentaire, les parties les plus élaborées pouvant faire l’objet d’un enseignement en début de M2.

Une présentation progressive et largement documentée

Somme prodigieuse sur un chapitre trop souvent ignoré, cet ouvrage sur les formes quadratiques livre au brillant taupin, à l’agrégatif tout comme au mathématicien confirmé un choix impressionnant de sujets et de thèmes en relation avec ce domaine capital.

Démarrant avec les fondements, dans un cadre rigoureux et précis, Clément de Seguins Pazzis nous guide, juste après les théorèmes de classification, vers les premières applications géométriques des formes quadratiques que sont l’étude des coniques et des quadriques.

Il nous offre au passage une véritable introduction à la géométrie affine et projective et une incursion inattendue du côté de la géométrie différentielle, avec le lemme de Morse et la notion de courbure.

L’auteur s’applique ensuite à présenter, pour la première fois en France comme à l’étranger, la théorie des formes quadratiques rationnelles dans une approche relativement élémentaire et progressive, nombreux exemples et applications à l’appui.

C’est l’occasion aussi d’une introduction minutieuse aux corps p-adiques et aux théorèmes reliant les passages local/global.

L’étude algébrique couvre évidemment les théorèmes de Witt, les formes de Pfister, les algèbres de Clifford et l’examen des groupes orthogonaux et spinoriels, tous aussi chers aux géomètres qu’aux physiciens théoriciens.

Cette « invitation aux formes quadratiques » se termine sur une étude approfondie du cas de la caractéristique 2, la plupart du temps méconnu ou escamoté dans les livres sur le sujet.

Un ouvrage pédagogique et approfondi

« Le niveau reste relativement élémentaire, les parties les plus élaborées pouvant faire l’objet d’un enseignement en début de M2. Dans le cadre ainsi défini, tous les aspects du sujet sont magistralement étudiés et approfondis. »

« L’exposé est très pédagogique, tant par l’ordre choisi, très soigneusement et intelligemment pensé, que par la clarté et la rigueur des preuves. »

« La richesse des exercices et problèmes, enfin, est véritablement exceptionnelle. »

Le livre se divise en trente-cinq chapitres, regroupés en cinq parties, suivis de six appendices destinés à faciliter le travail du lecteur.

« Clément de Seguins Pazzis a fait l’effort de repenser intégralement le matériel qu’il expose ici. La cohérence et le naturel qui en résultent se manifestent à chaque page du texte ; ils devraient permettre au lecteur néophyte une assimilation rapide et en profondeur d’un vaste domaine mathématique. »

« La rédaction et la typographie, de très grande qualité, achèvent de faire de cet ouvrage une somme sans équivalent dans la littérature. »

livre de mathématiques formes quadratiques

I. Théorie élémentaire des formes quadratiques

1. La congruence matricielle

1.1 Définition et propriétés élémentaires de la relation de congruence
1.2 Congruence et matrices diagonales
1.3 Congruence et similitude
1.4 Congruence et opérations élémentaires
1.5 Réduction de Gauss

2. Formes quadratiques : définitions et exemples

2.1 Formes bilinéaires
2.2 Forme quadratique associée à une forme bilinéaire
2.3 Représentations d’une forme quadratique dans une base
2.4 Quelques exemples de formes quadratiques en algèbre, en analyse et en géométrie
2.5 Le problème de la classification

3. Les objets associés à une forme quadratique

3.1 Le domaine
3.2 Dimension, noyau, rang
3.3 Cône isotrope et quadrique projective
3.4 Déterminants
3.5 Le groupe orthogonal
3.6 Facteurs de similitude, similitudes

4. L’orthogonalité pour une forme bilinéaire symétrique ou alternée

4.1 Noyau et rang d’une forme bilinéaire en dimension finie
4.2 La partie régulière
4.3 La relation d’orthogonalité entre vecteurs
4.4 L’orthogonal d’un sous-espace vectoriel
4.5 Décomposition orthogonale d’une forme bilinéaire

5. Diagonalisation d’une forme quadratique

5.1 Diagonalisation théorique
5.2 Mineurs principaux
5.3 La réduction de Gauss analytique

6. Formes quadratiques réelles et complexes

6.1 La classification sur C
6.2 La classification sur R
6.3 L’espace des formes réelles non dégénérées

7. Théorie de Witt (I) : théorie élémentaire de l’isotropie

7.1 Isotropie et plans quadratiques
7.2 Espaces hyperboliques
7.3 Sous-espaces totalement isotropes
7.4 Isotropie et domaine
7.5 Espaces hyperboliques de dimension 4

8. Théorie de Witt (II) : les théorèmes de Witt

8.1 Les théorèmes de Witt
8.2 Indice et partie anisotrope

9. Théorie de Witt (III) : la Witt-équivalence

9.1 La relation de Witt-équivalence
9.2 Les classifications sur C et R revisitées
9.3 Discriminant d’une forme quadratique
9.4 Application aux formes quadratiques sur les corps finis
9.5 Witt-équivalence et équivalence sur Q

II. Géométrie et formes quadratiques

10. Réductions dans les espaces euclidiens

10.1 Rappels : l’adjonction dans un espace euclidien
10.2 Le théorème spectral
10.3 Réduction des automorphismes orthogonaux
10.4 La réduction des endomorphismes normaux

11. Le groupe orthogonal euclidien

11.1 Rappels sur les symétries orthogonales
11.2 Génération du groupe orthogonal par les réflexions
11.3 Centre et simplicité du groupe spécial orthogonal
11.4 Éléments de topologie de On(R)

12. Quadriques projectives et affines (I)

12.1 Quadriques projectives et affines : généralités
12.2 Quadriques et sous-espaces projectifs
12.3 Vers une classification des quadriques affines

13. Quadriques projectives et affines (II)

13.1 La polarité par rapport à une quadrique propre
13.2 Les formes quadratiques définissant une même quadrique
13.3 Le groupe d’une quadrique propre

14. Coniques projectives

14.1 Modes de définition d’une conique projective propre
14.2 Le birapport sur une conique projective
14.3 Le groupe d’une conique propre

Les applications géométriques comprennent ainsi l’étude des coniques et des quadriques, une introduction à la géométrie affine et projective, ainsi qu’une incursion du côté de la géométrie différentielle, avec le lemme de Morse et la notion de courbure.

III. Introduction à la théorie algébrique des formes quadratiques

15. Construction de nouvelles formes quadratiques

15.1 Le produit tensoriel de deux formes quadratiques
15.2 Extension du corps de base
15.3 Formes devenant isotropes par extension des scalaires

16. Le groupe de Witt

16.1 Le groupe de Witt
16.2 Le groupe de Witt-Grothendieck : construction et exemples
16.3 Invariants élémentaires associés au groupe de Witt-Grothendieck
16.4 De Witt-Grothendieck à Witt
16.5 Présentation des groupes W^(K) et W(K) par générateurs et relations

17. Le groupe W(Q)

17.1 Construction des invariants δp
17.2 La structure de W(Q)

18. Formes quadratiques p-adiques, principe de Hasse

18.1 Une introduction élémentaire aux nombres p-adiques
18.2 Des formes quadratiques rationnelles aux formes quadratiques p-adiques
18.3 Résolution de x2 = a dans Qp
18.4 Formes quadratiques sur Qp
18.5 Application aux sommes de carrés d’entiers

19. L’anneau de Witt

19.1 Les anneaux W(K) et W^(K)
19.2 Puissances itérées de l’idéal fondamental
19.3 L’invariant de Hasse
19.4 Symbole de Hasse sur les Qp
19.5 L’invariant de Witt

20. Formes multiplicatives, formes de Pfister

20.1 Formes multiplicatives
20.2 Seconde approche de la multiplicativité des formes de Pfister
20.3 Caractérisations des formes de Pfister

La théorie des formes quadratiques rationnelles est présentée dans une approche relativement élémentaire et progressive, avec de nombreux exemples et applications.

Cette partie constitue également une introduction aux corps p-adiques et aux théorèmes reliant les passages local/global, tout en développant le groupe de Witt, l’anneau de Witt, l’invariant de Hasse, le symbole de Hasse et les formes de Pfister.

IV. Groupes orthogonaux, algèbres de Clifford et groupes spinoriels

21. Étude élémentaire du groupe orthogonal

21.1 Rappels et compléments élémentaires
21.2 Génération par les réflexions
21.3 Groupe orthogonal en dimension 2
21.4 Centre et groupe dérivé de O(q) et SO(q)

22. Norme spinorielle

22.1 Définition de la norme spinorielle
22.2 Norme spinorielle pour une forme réelle isotrope
22.3 Norme spinorielle et groupe dérivé de O(q)

23. Algèbres Z/2-graduées

23.1 Définition et exemples élémentaires
23.2 Produit tensoriel d’algèbres Z/2-graduées

24. Construction des algèbres de Clifford

24.1 Construction et propriétés élémentaires des algèbres de Clifford
24.2 Dimension et base de l’algèbre de Clifford
24.3 Partie paire et centre d’une algèbre de Clifford

25. Calcul des algèbres de Clifford

25.1 Algèbres de Clifford en petite dimension
25.2 Théorèmes de structure sur les algèbres de Clifford
25.3 L’algèbre de Clifford d’un espace hyperbolique
25.4 Calcul des algèbres de Clifford réelles et complexes

26. Théorie des groupes spinoriels

26.1 Le groupe de Clifford
26.2 Norme de Clifford, groupes spinoriels
26.3 Considérations topologiques sur les groupes spinoriels

27. Groupes spinoriels en dimensions 2, 3 et 4

27.1 Quelques outils supplémentaires pour le calcul des groupes spinoriels
27.2 Groupes spinoriels en dimension 2
27.3 Groupes spinoriels en dimension 3
27.4 Groupes spinoriels en dimension 4
27.5 Applications des résultats précédents à la simplicité de PΩ(q)

28. Groupes spinoriels en dimensions 5 et 6

28.1 Identification explicite d’une algèbre de Clifford
28.2 Groupes spinoriels en dimension 5
28.3 Groupes spinoriels en dimension 6

29. L’invariant de Clifford

29.1 Le groupe de Brauer
29.2 L’invariant de Clifford
29.3 La 2-torsion du groupe de Brauer
29.4 Lien entre l’invariant de Clifford et l’invariant de Witt standard

Cette étude algébrique couvre les théorèmes de Witt, les formes de Pfister, les algèbres de Clifford ainsi que l’examen des groupes orthogonaux et spinoriels.

Ces thèmes sont aussi chers aux géomètres qu’aux physiciens théoriciens.

V. Formes quadratiques en caractéristique 2

30. Introduction aux formes quadratiques en caractéristique 2

30.1 Formes quadratiques, forme polaire associée
30.2 Espaces quadratiques
30.3 Représentations d’une forme quadratique
30.4 Orthogonalité et formes quadratiques
30.5 Formes quadratiques totalement dégénérées

31. Formes alternées, groupe symplectique

31.1 Formes alternées
31.2 Bases symplectiques, lagrangiens
31.3 Le groupe symplectique

32. Classification des formes quadratiques régulières

32.1 Considérations élémentaires
32.2 Étude des plans quadratiques réguliers
32.3 Isotropie, espaces hyperboliques
32.4 L’invariant de Arf en dimension quelconque
32.5 Les théorèmes de Witt dans le cas régulier

33. Le groupe Sp4(F2 ) et les formes quadratiques de dimension 4 sur F2

33.1 Action de Sp4(F2) sur un ensemble de formes quadratiques
33.2 Les deux groupes orthogonaux en dimension 4
33.3 à la recherche d’un automorphisme extérieur de Sp4(F2 )

34. Introduction au groupe orthogonal - l’invariant de Dickson

34.1 Théorème de Witt généralisé, réflexions
34.2 Algèbres de Clifford en caractéristique 2
34.3 L’invariant de Dickson
34.4 Compléments

35. Formes bilinéaires symétriques en caractéristique 2

35.1 Considérations élémentaires
35.2 Diagonalisation des formes bilinéaires symétriques anisotropes
35.3 Réduction théorique des formes bilinéaires symétriques
35.4 Classification complète des formes bilinéaires symétriques en caractéristique 2
35.5 Algorithme de calcul d’une forme réduite

Cette « invitation aux formes quadratiques » se termine sur une étude approfondie du cas de la caractéristique 2, la plupart du temps méconnu ou escamoté dans les livres sur le sujet.

Appendices

A. Compléments d’algèbre linéaire

A.1 Espaces vectoriels quotients
A.2 Dualité en dimension finie

B. Compléments de théorie des groupes

B.1 Produits semi-directs
B.2 Suites exactes

C. Le symbole de Legendre

C.1 Définition et résultats essentiels

D. Éléments de géométrie projective

D.1 Espaces projectifs, homographies
D.2 Sous-espaces projectifs
D.3 Liaison affine-projective
D.4 Repères projectifs, coordonnées homogènes
D.5 Droites projectives, birapport
D.6 Dualité dans le plan projectif

E. Le corps H des quaternions

E.1 Définition
E.2 Base canonique de H
E.3 Quelques parties remarquables de H

F. Produits tensoriels d’espaces vectoriels et d’algèbres

F.1 Produit tensoriel d’espaces vectoriels
F.2 L’algèbre tensorielle d’un espace vectoriel
F.3 Produit tensoriel de deux K-algèbres

Exercices, problèmes et outils de consultation

L’ouvrage, illustré par de magnifiques dessins, contient plus de neuf cents exercices et problèmes, ainsi qu’un index extrêmement fourni.

« Each of the thirty-five chapters comes with a large number of exercises and working problems, which are arranged according to the respective material covered in the single sections of a chapter. »

« In fact, the exercises and working problems are extremely numerous, versatile and thoughtfully selected, which certainly must be seen as one of the outstanding features of the present textbook. »

« It is fair to say that this wealth of exercises provides a corresponding wealth of additional material for the self-reliant reader, perhaps even to the extent of an accompanying, further-leading textbook on the subject and its allied theories. »

« The presentation of the core material captivates by its lucidity, profundity, panoramic width, and expository skill likewise. »

« No doubt, the author has provided an excellent introduction to various aspects of the theory of quadratic forms over a field, thereby exhibiting many of its beautiful facets in a truly inviting manner. »

« Moreover, tailor-made for the needs of students, the book under review should be seen as a particularly useful introduction to the standard texts in the field. »

Le lecteur en appréciera le style et la finition particulièrement soignés.